TITIIK,GARIS,SEGITIGA,SEGIEMPAT

Istilah-istilah yang Tidak definisi dalam Geometri:
Titik, Garis, dan Bidang
Titik
Titik, dilambangkan dengan bulatan kecil (dot),
hanya mempunyai posisi.
Ditulis dengan huruf kapital: A, B, C, P,  dst
Garis
Dinyatakan dengan huruf kecil: a, b, c, p,  dsb.
Bisa juga dinyatakan dengan dua huruf kapital yang masing-masing menunjukkan dua titik pada garis tersebut

a
A                            B

Garis di atas dinamakan garis a atau garis AB, disimbolkan dengan simbol <AB>

Antara
Titik B diantara titik A dan C (ditulis A – B –C  ), jika dan hanya jika
1.    A, B, C berbeda.
2.    A, B, C segaris.
3.    MempunyaiurutanA – B – C atauC – B – A.


Definisi
RuasGaris
RuasgarisABadalahhimpunansemuatitik yang memuatA, B, dantitikXsehinggaA – X – B.

Beberapa kesepakatan berkenaan dengan ruas garis AB.
1.    RuasgarisABdisimbolkandengan [AB], dibaca" ruasgarisAB" .
2.    TitikAdanBmasing-masingdisebutujung [AB].


A                            B

Sinar Garis
Sinar garis AB adalah himpunan semua titik yang memuat A, B, dan titik X sehingga A – X – B atau A – B – X.

Beberapa kesepakatan berkenaan dengan sinar garis AB.
1.    Sinar garis AB disimbolkan dengan [AB>, dibaca " sinar garis AB".
2.    TitikA disebuttitikpangkal [AB>.
3.    Titik B adalah salah satu titik pada [AB>.


A                            B

Sudut
Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang bersekutu di titik pangkalnya.

A


OB

Gambar di atas menunjukkan sudut AOB yang terbentuk dari dua sinar garis [OA> dan [OB> yang bersekutu pangkalnya, yaitu titik O.

Beberapa kesepakatan berkenaan dengan sudut.
Sudut  yang dibentuk oleh [OA> dan [OB> disebut sudut  AOB atau sudut BOA.
Sudut  AOB disimbolkan dengan  AOB, dibaca " sudut AOB".
Duasinargarispembentuksudut ([OA>dan [OB>) masing-masingdisebut kaki sudut ( AOB).
Titi ksekutu kaki-kaki sudut, yaitu titik O,  disebuttitiksudut ( AOB).
Daerah diantara kaki-kaki sudutdisebutdaerahdalamsudut (interior sudut).

A


O              B

Menamakan sudut
Ada beberapa cara menamakan sudut
1.    Menggunakan titik sudut dan dua titik masing-masing pada kaki sudut:  AOB atau  BOA
2.    Menggunakantitiksudut:  O.
3.    Menggunakan huruf Yunani, misalnya  ,  ,   ,  dan seterusnya:   .
4.    Menggunakannomor:  1.


1.    .

Ukuranruasgaris
Ukuranruasgarisadalahadalahkoordinatsalahsatuujungnyajikaujung yang lain berkoordinat nol.

Ukuran [AB] dinyatakan dengan u[AB] atau AB.

Titik tengah ruas garis
Titik tengah ruas garis adalah titik pada ruas garis itu sehingga membentuk dua ruas garis yang berukuran sama.


A                M               B

Bisektor ruas garis
Bisektor ruas garis adalah garis yang memotong ruas garis di titik tengahnya.




A                M               B

Ukuransudut
Misalkan  AOB "diletakkan" pada busur derajat sedemikian hingga
•    Titik O pada titik tengah busur
•    Salah satusisisudut, misalkan [OA>padagaristengahsetengahlingkaranbusur
•    Sisilainnya, yaitu [OB>memotongbusurpadatitik yang berkoordinatm (dihitungdarititiknolpadabusur yang dilalui [OA>

Dikatakanbahwaukuran AOBadalahm.
m adalahbilangan real.

Ukuransudutdinyatakandenganu AOB.
Jadi, pada ilustrasi di atas, u AOB = m.



Definisi sudut berdasarkan ukurannya
Sudut siku-siku
Sudut siku-siku adalah sudut yang berukuran 90.

Sudut lurus
Sudut lurus adalah sudut yang berukuran 180.

Sudut lancip
Sudut lancip adalah sudut yang berukuran lebih dari 0 dan kurang dari 90.

Sudut tumpul
Sudut tumpul adalah sudut yang berukuran lebih dari 90 dan kurang dari 180.

Sudut-sudut berkomplemen (Sudut-sudut berpenyiku)
Sudut-sudut berkomplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya sama dengan 90.

Sudut-sudut bersuplemen (Sudut-sudut berpelurus)
Sudut-sudut bersuplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya sama dengan 180.

Garis-garis tegaklurus
Garis-garis tegaklurus adalah dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut-sudut siku-siku.

Garis bagi sudut (Bisektor sudut)
Garis bagi sudut adalah sinar garis yang berpangkal di titik sudut itu dan kedua sudut yang terbentuk oleh sinar garis itu dengan kaki-kaki sudut itu berukuran sama.

Dua ruas garis kongruen
Dua ruas garis kongruen adalah dua ruas garis yang berukuran sama.

Dua sudut kongruen
Dua sudut kongruen adalah dua sudut yang berukuran sama.

AKSIOMA-AKSIOMA
Aksioma Tentang Garis
Aksioma G-1
Suatu garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya ke kedua arahnya tanpa batas.
Aksioma G-2
Ada korespondensi satu-satu antara titik-titik pada garis dengan bilangan real.

Aksioma G-3
Pada dua titik berbeda ada tepat satu garis pada keduanya.

Aksioma G-4
Pada setiap garis minimal ada dua titik berbeda.
Ada minimal tiga titik yang tidak segaris.

Aksioma Urutan
Aksioma U-1
Titik B diantara titik A dan titik C, ditulis A – B –C , jika A, B, C berbeda dan segaris dan sama dengan C – B –A.


Aksioma U-2
Untuk sebarang dua titik berbeda A dan C ada minimal satu titik B pada <AC> sehingga A – C – B .

Aksioma U-3
Jika A, B, dan C adalah tiga titik segaris, maka ada tepat satu diantara yang lain.

Aksioma U-4
Jika
A, B, dan C adalah tiga titik tak segaris dan m adalah garis pada bidang yang memuat A, B,C, dan m serta m tidak memuat sebarang titik dari A, B, maupun C,
maka
jika m memuat titik pada [AB], maka m juga memuat titik pada [AC] atau [BC].

Definisi: Jumlahduaruasgaris
Jumlahduaruasgaris [AB] dan [BC] adalah [AC] jikadanhanyajikaA – B – C.


A                B               C

Beberapa hal berkenaan dengan penjumlahan dua ruas garis.
1.    Penjumlahanduaruasgaris [AB] dan [BC] adalah [AC] disimbolkandengan [AB] + [BC] = [AC], dibaca "[AB] ditambah [BC] samadengan [AC]".
2.    Jika [AB] + [BC] = [AC], maka [AB]  [BC] = {B}.

Definisi: Selisihduaruasgaris
Selisihantaraduaruasgaris [AB] dan [BC] adalah [AC] jikadanhanyajikaA – C – B.


A                C               B
Definisi: Jumlahduasudut
Jumlahduasudut AOBdan BOCadalah AOCjikadanhanyajika [OB>diantara [OA>dan [OC>.
Definisi: Selisihduasudut
Selisihduasudut AOCdan AOBadalah BOCjikadanhanyajika [OB>diantara [OA>dan [OC>.



SEGITIGA

Definisi: Poligon
Poligon  P1P2P3… Pn-1Pn adalah gabungan dari himpunan titik-titik P1,   P2,   P3, … , Pn-1,  Pn dan ruas garis-ruas garis [P1P2],  [P2P3],  [P3P4], … , [Pn-1Pn],  [PnP1] sedemikian hingga jika dua ruas garis itu berpotongan, maka titik potongnya adalah satu dari titik-titik P1,   P2,   P3, … , Pn-1,  Pn dan bukan titik yang lain.






                      Poligon                                                                Bukan poligon
KORESPONDENSI PADA POLIGON
Jika dua poligon mempunyai jumlah titik sudut yang sama, maka dapat dibuat korespondensi satu-satu antara titik-titik  sudutnya
CekPemahaman
No.    Poligon    MacamKorespondensi
1.            A
P



B                                       Q                       R
                     C    ? korespondensi:
A  P          A  P           A  Q
B  Q          B  R           B  P
C  R          C  Q           C  R

A  Q          A  R          A  R
B  R           B  P           B  Q
C  P          C  Q           C  P

2.   
         A
                                              P                    S
                                D

    B
                                         Q                R
                C
    ? korespondensi:
A  P    A  P    A  P    A  P
B  Q    B  Q    B  R    B  R
C  R    C  S    C  Q    C  S   
D  S    D  R   D  S    D  R         

A  P    A  P    A  Q   A  Q
B  S    B  S     B  P    B  P
C  Q   C  R    C  R    C  S   
D  R   D  Q   D  S    D  R

3.   
          A                                 P
                               E
B                                   Q
                                                                   T

      C                   D           R            S    ? korespondensi:



Definisi: Sudut-sudutberkorespondensi
Sudut-sudutberkorespondensidariduapoligonadalahduasudut yang titik-titiksudutnyamerupakanpasanganunsur-unsdur yang berkorespondensidalamkorespondensiantaratitik-titiksudutduapoligonitu.

Definisi: Sisi-sisiberkorespondensi
Sisi-sisiberkorespondensidariduapoligonadalahduasisi yang titik-titikujungnyamerupakanpasanganunsur-unsdur yang berkorespondensidalamkorespondensiantaratitik-titiksudutduapoligonitu.


Definisi: Segitiga
Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga sisi.

AKSIOMA SEGITIGA KONGRUEN
Aksioma S. Sd. S.
Duasegitigadikatakankongruenjikaterdapatkorespondensisatu-satuantaratitik-titiksudutnyasedemikianhinggaduasisidansudutapitnyadarisegitigapertamakongruendenganunsur-unsur yang berkorespondensipadasegitigakedua.

Aksioma Sd. S. Sd.
Duasegitigadikatakankongruenjikaterdapatkorespondensisatu-satuantaratitik-titiksudutnyasedemikianhinggaduasudutdansisi yang memuatduasudutitudarisegitigapertamakongruendenganunsur-unsur yang berkorespondensipadasegitigakedua.
Contoh
A

1  2




       B             D            C


PEMBAGIAN SEGITIGA
Definisi:  Segitiga sebarang
Segitiga sebarang adalah segitiga yang tidak mempunyai sisi-sisi kongruen atau sudut-sudut kongruen.

Definisi:  Segitiga samasisi
Segitiga samasisi adalah segitiga yang semua sisinya kongruen.

Definisi:  Segitiga samakaki
Segitiga samakaki adalah segitiga yang dua sisinya kongruen.

Definisi:  Segitiga samasudut
Segitiga samasudut adalah segitiga yang semua sudutnya kongruen.

Definisi:  Segitiga siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai satu sudut siku-siku.

Definisi:  Segitiga lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya lancip.

Definisi:  Segitiga tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang mempunyai satu sudut tumpul.

Definisi: Daerah dalam (interior) sudut
Daerah dalam sudut  adalah himpunan titik-titik sedemikian hingga jika suatu sinar garis yang berpangkal di titik sudut dan melalui sebarang titik pada himpunan tersebut, maka sinar garis-sinar garis itu berada diantara kaki-kaki sudut.
                                     A

    B



              O                                  C
Definisi: Daerah dalam (interior) segitiga
Daerah dalam segitiga adalah irisan dari daerah dalam sebarang dua sudut segitiga itu

Teorema: Segitiga samakaki
Jika dua sisi suatu segitiga kongruen, maka sudut-sudut di hadapan sisi-sisi itu kongruen.

A



X


Teorema: Konvers Teorema Segitiga samakaki
Jika dua sudut suatu segitiga kongruen, maka sisi-sisi di hadapan sudut-sudut itu kongruen.
A






       B                             C



GARIS-GARIS ISTIMEWA
Definisi: Garistinggi
Garistinggisegitigaadalahruasgaris yang dibuatdarisebarangtitiksudutsegitigategaklurussisi di hadapannya (perpanjangannya).
                                 A






                 B              D                             C
Definisi: Garisbagi
Garisbagisegitigaadalahruasgaris yang dibuatdarisebarangtitiksudutsegitigadanmembagisuduttersebutmenjadiduasudut yang berukuransama.
                      A

                                         D




         B                                                      C
Definisi: Garisberat
Garis berat segitiga adalah ruas garis yang dibuat dari sebarang titik sudut segitiga ke titik tengah sisi di hadapannya.
A




B            D              C


SEGI EMPAT
Jajargenjang
Definisi: Segiempat
Segiempatadalahpoligon yang bersisiempat.

Definisi: Jajargenjang
Jajargenjangadalahsegiempatdengansisi-sisi yang berhadapansejajar.

Definisi: Persegi panjang
Persegi panjang adalah jajargenjang dengan satu sudut siku-siku.

Definisi: Persegi
Persegi adalah persegi panjang dengan sisi-sisi yang berdekatan kongruen.

Definisi: Belah ketupat
Belah ketupat adalah jajargenjang dengan dua sisi yang berdekatan kongruen.

Definisi: Trapesium
Trapesium adalah segiempat yang mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi sejajar.

Definisi: Trapesium samakaki
Trapesium samakaki adalah trapesium dengan sisi-sisi yang tidak sejajar kongruen.

Teorema: Teorema Sisi Jajargenjang
Sisi-sisi yang berhadapan pada jajargenjang adalah kongruen.
A                          D



                             B                              C


Bukti
(1)    j. g. ABCD.
(2)    <AC>adalahgaris yang melaluiAdanC
(3)    [AC] [AC]
(4)    Dari (1), <AD> // <BC>.
(5)     BCA  CAD.
(6)    Dari (1), <AB> //  <DC>.
(7)     BAC  ACD.
(8)    Dari (3), (5), dan (7),  ABC   CDA.
(9)    [AB] [DC] dan [AD] [BC]
Bukti selesai.



Teorema: Teorema Sudut Jajargenjang
Sudut-sudut yang berhadapan pada jajargenjang adalah kongruen.

Teorema: Teorema Diagonal Jajargenjang
Diagonal-diagonal jajargenjang saling membagi dua sama.

Teorema: Teorema Sisi Persegi
Semua sisi persegi adalah kongruen.

Teorema: Teorema Sisi Belahketupat
Semua sisi belahketupat adalah kongruen.

Teorema: Teorema Sudut Alas Trapesium Samakaki
Sudut-sudut alas trapesium samakaki adalah kongruen.
           A               D

                     X

     B             E         C
Bukti
(1)    Misalkan<DX>adalahgarismelaluiDsejajar<AB>.
(2)    <AD>// <BC>.
(3)    <DX> tentu memotong <BC> di sebuah titik, sebut titik E.
(4)    Dari (1) dan (2), ABED adalah jajargenjang.
(5)    Akibatnya, [AB]   [DE].
(6)    [AB]   [DC].
(7)    Dari (5) dan (6), [DE]   [DC].
(8)    Sehingga DEC   C.
(9)    Dari (1),  DEC   B.
(10)    Dari (8) dan (9),  B   C.
Buktiselesai.


Teorema: KonversTeoremaSisiJajargenjang
Jikasisi-sisi yang berhadapanpadasuatusegiempatadalahkongruen, makasegiempatituadalahjajargenjang.

Teorema: KonversTeorema Diagonal Jajargenjang
Jika diagonal-diagonal suatusegiempatsalingmembagiduasama, makasegiempatituadalahjajargenjang.

Teorema: KonversTeoremaSudutJajargenjang
Jikasudut-sudut yang berhadapanpadasuatusegiempatadalahkongruen, makasegiempatituadalahjajargenjang.

Teorema:
Jikasuatusegiempatmempunyaisepasangsisisejajardankongruen, makasegiempatituadalahjajargenjang.



Download 3.docx in Ziddu.com